Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt/Beweis

Es seien ${\displaystyle {}w_{1},w_{2}\in W}$. Wegen der Bijektivität gibt es eindeutige ${\displaystyle {}v_{1},v_{2}\in V}$ mit ${\displaystyle {}\varphi (v_{1})=w_{1}}$ und ${\displaystyle {}\varphi (v_{2})=w_{2}}$. Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(w_{1}+w_{2})&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2}))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (v_{1}+v_{2}))\\&=v_{1}+v_{2}\\&=\varphi ^{-1}(w_{1})+\varphi ^{-1}(w_{2}).\end{aligned}}}$

Entsprechend ist (mit ${\displaystyle {}s\in K}$)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(sw)&=\varphi ^{-1}(s\varphi (v))\\&=\varphi ^{-1}(\varphi (sv))\\&=sv\\&=s\varphi ^{-1}(w).\end{aligned}}}$