Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,}$

heißt assoziativ, wenn für alle ${\displaystyle {}x,y,z\in M}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,}$

gilt.

${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,}$

den Kern von ${\displaystyle {}\varphi }$.

${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,,}$

versehen mit der Addition, die durch

${\displaystyle {}(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,}$

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

${\displaystyle {}(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,}$

definiert wird.

${\displaystyle {}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R}$

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle {}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

${\displaystyle r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n},}$

wobei ${\displaystyle {}r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\in R}$ sind.

${\displaystyle \Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W}$

heißt alternierend, wenn ${\displaystyle {}\Phi }$ multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in ${\displaystyle {}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${\displaystyle {}v_{i}=v_{j}}$ für ein Paar ${\displaystyle {}i\neq j}$, so ist

${\displaystyle {}\Phi (v)=0\,.}$