Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/36/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle G\colon M\longrightarrow L,}$

die jedes Element ${\displaystyle {}y\in M}$ auf das eindeutig bestimmte Element ${\displaystyle {}x\in L}$ mit ${\displaystyle {}F(x)=y}$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu ${\displaystyle {}F}$.

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,}$

gegeben. Dann heißt ein Element ${\displaystyle {}e\in M}$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${\displaystyle {}x\in M}$ die Gleichheit

${\displaystyle x\circ e=x=e\circ x}$

gilt.

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle {}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)}$

${\displaystyle {}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,}$

gibt.

${\displaystyle \varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,K\right)}={W}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}={V}^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,}$

heißt die duale Abbildung zu ${\displaystyle {}\varphi }$.

${\displaystyle {}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,}$

heißt charakteristisches Polynom von ${\displaystyle {}M}$.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&J_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{k-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{k}\end{pmatrix}},}$

wobei die ${\displaystyle {}J_{i}}$ Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.