Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/38/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,}$

heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${\displaystyle {}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)}$ für alle ${\displaystyle {}u,v\in V}$.
2. ${\displaystyle {}\varphi (sv)=s\varphi (v)}$ für alle ${\displaystyle {}s\in K}$ und ${\displaystyle {}v\in V}$.

${\displaystyle {}\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,}$

der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu ${\displaystyle {}M}$.

${\displaystyle {}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,}$

heißt charakteristisches Polynom von ${\displaystyle {}M}$.

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}P_{i}\,}$

mit

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}=1\,}$

nur bei

${\displaystyle {}a_{i}=b_{i}\,}$

für alle ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$ möglich ist.