Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/44/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle {}x,y\in L}$ auch ${\displaystyle {}f(x)}$ und ${\displaystyle {}f(y)}$ verschieden sind.

${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,}$

heißt assoziativ, wenn für alle ${\displaystyle {}x,y,z\in M}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,}$

gilt.

${\displaystyle {}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}:={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=\lambda v\right\}}\,}$

den Eigenraum von ${\displaystyle {}\varphi }$ zum Wert ${\displaystyle {}\lambda }$.

${\displaystyle {}T\in K[X]}$

${\displaystyle {}P\in K[X]}$

${\displaystyle {}Q\in K[X]}$

${\displaystyle {}P=TQ\,}$

gibt.

${\displaystyle {}\lambda }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.}$