Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/46/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0}$

nur bei ${\displaystyle {}a_{i}=0}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ möglich ist.

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${\displaystyle {}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)}$ für alle ${\displaystyle {}u,v\in V}$.
2. ${\displaystyle {}\varphi (sv)=s\varphi (v)}$ für alle ${\displaystyle {}s\in K}$ und ${\displaystyle {}v\in V}$.

${\displaystyle {}\lambda \in K}$

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}0}$

${\displaystyle {}v\in V}$

${\displaystyle {}\varphi (v)=\lambda v\,}$

gibt.

${\displaystyle \psi \colon E\longrightarrow F}$

heißt affin-linear, wenn es eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

mit

${\displaystyle {}\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,}$

für alle ${\displaystyle {}P\in E}$ und ${\displaystyle {}v\in V}$ gilt.