Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}W}$

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle {}n\times n}$

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}(M^{\operatorname {adj} })\cdot M=M\cdot (M^{\operatorname {adj} })=(\det M)E_{n}\,}$

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

ein trigonalisierbarer ${\displaystyle {}K}$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$. Dann ist ${\displaystyle {}V}$ die direkte Summe der Haupträume, also

${\displaystyle {}V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \cdots \oplus \operatorname {Haupt} _{\lambda _{m}}(\varphi )\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}}$ die verschiedenen Eigenwerte zu ${\displaystyle {}\varphi }$ durchläuft, und ${\displaystyle {}\varphi }$ ist die direkte Summe der Einschränkungen

${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi {|}_{H_{i}}\colon H_{i}\longrightarrow H_{i}}$

${\displaystyle {}H_{i}=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{i}}(\varphi )}$