Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/44/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}}$

gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich ${\displaystyle {}0}$ seien. Dann stehen die Lösungen ${\displaystyle {}(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})}$ in Bijektion zu den Tupeln

${\displaystyle {}(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.}$

${\displaystyle S_{n}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),}$

ist ein