Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/54/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Es sei ${}x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung ${}G$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten ${}a$ vorkommt. Dann lässt sich jede von ${}G$ verschiedene Gleichung ${}H$ durch eine Gleichung ${}H'$ ersetzen, in der ${}x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem ${}S'$ , das aus ${}G$ und den Gleichungen ${}H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ${}S$ ist.
Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ . Dann sind die Abbildungen
$\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ){\text{ und }}M\longmapsto \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$

invers
zueinander.
Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung
${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$