Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

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Zu zwei Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man
${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$

den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$ .
Eine lineare Abbildung
$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$
Man nennt einen Endomorphismus
$\psi \colon V\longrightarrow V$

adjungiert zu ${}\varphi$ , wenn

${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.
Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ ${}G$ wenn folgendes gilt.
1. ${}e\in H$ .
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$ .
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$ .
Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$ , wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass
${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

gilt.
Es sei ${}F$ ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$ $v_{i}\in V_{i}$ ) erzeugte ${}K$ ${}K$ -Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ). Es sei ${}U\subseteq F$ ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
1. ${}re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$ ,
2. ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$ ,
erzeugte ${}K$ -Untervektorraum von ${}F$ . Dann nennt man den Restklassenraum ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$ , ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ . Es wird mit

$V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$

bezeichnet.

Zur gelösten Aufgabe