Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}v,w\in V}$

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle =0\,}$

ist.

${\displaystyle {}n\times n}$

${\displaystyle \left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}}$

heißt die Gramsche Matrix von ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ bezüglich der Basis.

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,}$

für alle ${\displaystyle {}u,v\in V}$ gilt.

${\displaystyle {}\preccurlyeq }$

1. Es ist ${\displaystyle {}i\preccurlyeq i}$ für alle ${\displaystyle {}i\in I}$.
2. Aus ${\displaystyle {}i\preccurlyeq j}$ und ${\displaystyle {}j\preccurlyeq k}$ folgt stets ${\displaystyle {}i\preccurlyeq k}$.
3. Aus ${\displaystyle {}i\preccurlyeq j}$ und ${\displaystyle {}j\preccurlyeq i}$ folgt ${\displaystyle {}i=j}$.