Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

Jede eigentliche, lineare Isometrie
$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
ist eine Drehung.
Es sei ${}P$ ein Punkt in der euklidischen Ebene ${}E$ , ${}K$ der Kreis mit Radius ${}r>0$ und Mittelpunkt ${}P$ und es sei ${}G$ eine Gerade durch ${}P$ , die den Kreis in den Punkten ${}A$ und ${}B$ trifft. Dann ist für jeden Punkt ${}C\in K$ das Dreieck ${}A,B,C$ rechtwinklig an ${}C$ .
Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$ . Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
$V_{1}^{*}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}^{*},\,f_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}f_{n}\longmapsto {\left(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$