Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ${}u_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Orthonormalbasis von ${}V$ . Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors ${}v$ bezüglich dieser Basis durch
${}v=\sum _{i\in I}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$
Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei ${}G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und
$q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$

die kanonische Projektion. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus
ist.
Es sei ${}K$ ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$ ${}K$ .

Die Abbildung
$\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n},\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n},$

ist ${}K$ -multilinear.

Es sei ${}W$ ein weiterer ${}K$ -Vektorraum und
$\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}K$ -lineare Abbildung

${\bar {\psi }}\colon V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}\longrightarrow W$

mit ${}\psi ={\bar {\psi }}\circ \pi$ .