Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$

${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$

${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert }$

${\displaystyle {}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,}$

${\displaystyle {}v,w\in V}$

${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$

${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}G}$

${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$

${\displaystyle {}D_{k}}$

${\displaystyle M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.}$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Genau dann ist ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ positiv definit, wenn alle ${\displaystyle {}D_{k}}$ positiv sind.
2. Genau dann ist ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge ${\displaystyle {}D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}}$ an jeder Stelle wechselt.

${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

${\displaystyle {}d}$