Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$

${\displaystyle {}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,}$

${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

Dann gibt es eine Isometrie

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

ein Endomorphismus.

Dann ist ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann normal, wenn es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren

zu ${\displaystyle {}\varphi }$ gibt.