Linearkombination/R/2/Aufgabe/Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{matrix}2x+4y+z&=&0\\3x\,\,\,\,-y+2z&=&0\\+2y+z&=&1\,\end{matrix}}}$

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der zweiten Gleichung die Variable ${\displaystyle {}y}$ aus der ersten und dritten Gleichung. Das resultierende System ist

${\displaystyle {\begin{matrix}14x\,\,\,\,\,\,\,\,+9z&=&0\\3x\,\,\,\,-y+2z&=&0\\6x\,\,\,\,\,\,\,\,+5z&=&1\,.\end{matrix}}}$

Wir eliminieren nun die Variable ${\displaystyle {}x}$, aus der dritten Gleichung

${\displaystyle {\begin{matrix}42x\,\,\,\,\,\,\,\,27z&=&0\\3x\,\,\,\,-y+2z&=&0\\6x\,\,\,\,\,\,\,\,+5z&=&7\,.\end{matrix}}}$

${\displaystyle z={\frac {7}{8}},}$

${\displaystyle {}x=-{\frac {9}{16}}\,}$

und

${\displaystyle {}y={\frac {1}{16}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}=-{\frac {9}{16}}{\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{16}}{\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {7}{8}}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\,.}$