Lipschitz-stetig/Verhalten unter Komposition/Aufgabe/Lösung

a) Es sei ${\displaystyle {}f}$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${\displaystyle {}L}$. Es ist also

${\displaystyle {}d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y)\,}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in M}$. Daher ist

${\displaystyle {}d(f^{\circ n}(x),f^{\circ n}(y))\leq Ld(f^{\circ n-1}(x),f^{\circ n-1}(y))\leq \ldots \leq L^{n}d(x,y)\,}$

und daher ist ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${\displaystyle {}L^{n}}$.

b) Wir betrachten

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ für }}x\leq 0\,,\\-2x\,,{\text{ für }}x>0\,.\end{cases}}}$

Diese Funktion ist Lioschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${\displaystyle {}2}$, die sich nicht verbessern lässt. Es liegt also keine starke Kontraktion vor. Da positive Zahlen auf negative Zahlen abgebildet werden und diese auf ${\displaystyle {}0}$, ist ${\displaystyle {}f^{\circ 2}}$ die Nullabbildung. Die höheren Hintereinanderschaltungen sind erst recht die Nullabbildung und dies ist eine starke Kontraktion.

c) Es sei ${\displaystyle {}L}$ eine Lipschitz-Konstante für ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}c<1}$ ein Kontraktionsfaktor für ${\displaystyle {}f^{\circ k}}$. Es sei ${\displaystyle {}m}$ so gewählt, dass

${\displaystyle {}L^{k}c^{m}<1\,}$

ist. Sei

${\displaystyle {}n_{0}=mk\,.}$

Für ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ schreiben wir ${\displaystyle {}n=ak+r}$ mit ${\displaystyle {}r<k}$ und

${\displaystyle {}f^{\circ n}=f^{\circ ak}\circ f^{\circ r}={\left(f^{\circ k}\right)}^{a}\circ f^{\circ r}\,.}$

Da Lipschitz-Konstanten multiplikativ sind, gilt für diese Hintereinanderschaltung die Lipschitz-Konstante (${\displaystyle {}L}$ sei ${\displaystyle {}\geq 1}$)

${\displaystyle {}c^{a}L^{r}\leq c^{a}L^{k}\leq c^{m}L^{k}<1\,.}$