Lokaler Ring/Modul/Direkte Summe/Minimale Erzeugendenzahl/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein noetherscher lokaler Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Modul mit einer Summenzerlegung ${\displaystyle {}M=M_{1}\oplus M_{2}}$. Zeige, dass für die minimale Erzeugendenzahl die Beziehung

${\displaystyle {}\mu (M)=\mu (M_{1})+\mu (M_{2})\,}$

gilt.