Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Ränge/Fakt

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein lokaler noetherscher Ring, ${\displaystyle {}M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Modul und

${\displaystyle \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

eine minimale freie Auflösung von ${\displaystyle {}M}$.

Dann ist der Rang von ${\displaystyle {}F_{i}}$ gleich der ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}}$-Dimension von ${\displaystyle {}M_{i}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}}$ mit ${\displaystyle {}M_{i}=\operatorname {kern} \left(\theta _{i-1}\right)}$.