Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension ${\displaystyle {}d}$ von ${\displaystyle {}R}$. Bei ${\displaystyle {}d=0}$ ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=0}$ und es liegt ein Körper vor. Es sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}}$ die minimalen Primideale von ${\displaystyle {}R}$. Es ist ${\displaystyle {}n=1}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{1}=0}$ zu zeigen. Wir wenden Fakt auf diese Primideale und auf ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}^{2}}$ an. Es ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{i}}$, da die Dimension zumindest ${\displaystyle {}1}$ ist, und es ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}}$, denn sonst wäre ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=0}$. Somit ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cup \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}}$, d.h. es gibt ein ${\displaystyle {}h\in {\mathfrak {m}}}$, das in keinem minimalen Primideal und nicht in ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{2}}$ enthalten ist. Nach Fakt ist ${\displaystyle {}R/(h)}$ ein regulärer Ring der Dimension ${\displaystyle {}d-1}$, es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal ${\displaystyle {}(h)}$ ein Primideal in ${\displaystyle {}R}$. Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}\subseteq (h)\,}$

für ein ${\displaystyle {}i}$, und die Inklusion muss nach der Wahl von ${\displaystyle {}h}$ echt sein. Somit muss

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {a}}\cdot (h)\,}$

mit einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit ${\displaystyle {}h\notin {\mathfrak {p}}_{i}}$ folgt

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}\,}$

und somit

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{i}\,.}$

Die Gleichheit

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{i}\cdot (h)\,}$

erzwingt aber nach dem Lemma von Nakayama ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}=0}$.