Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein Maßraum. Zeige, dass für eine messbare Funktion ${\displaystyle {}f\colon X\rightarrow {\mathbb {K} }}$ folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist ${\displaystyle {}f=0}$ fast überall.
2. Es gibt ein ${\displaystyle {}p\geq 1}$ mit

   ${\displaystyle {}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.}$

3. Für alle ${\displaystyle {}p\geq 1}$ ist

   ${\displaystyle {}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =0\,.}$