Maßtheorie/Belegungsfunktion/Sigma-endlich/Konvergente Folgen/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle \beta \colon \mathbb {R} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}}$

eine Belegungsfunktion mit dem zugehörigen Summationsmaß ${\displaystyle {}\mu }$. Für jede konvergente Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{k}}$ sei die Bedingung ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }\beta (x_{n})<\infty }$ erfüllt. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mu }$ ${\displaystyle {}\sigma }$-endlich ist.