Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Lokal endlicher Atlas/Fakt/Beweis

Es sei die offene Überdeckung ${\displaystyle {}W_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, gegeben. Ferner sei ${\displaystyle {}A_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, eine kompakte Ausschöpfung von ${\displaystyle {}M}$, die es nach Fakt gibt. Die offenen Mengen ${\displaystyle {}A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung, da es zu jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ ein minimales ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}P\in A_{n}}$ (es sei ${\displaystyle {}A_{-1}=\emptyset }$) gibt. Für dieses ${\displaystyle {}n}$ ist ${\displaystyle {}P\not \in A_{n-1}}$ und ${\displaystyle {}P\in A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}}$. Indem wir die Durchschnitte ${\displaystyle {}W_{i}\cap {\left(A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}\right)}}$ betrachten, können wir annehmen, dass alle Mengen der Überdeckung innerhalb von einem ${\displaystyle {}A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}}$ liegen.
Zu jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ gibt es eine offene (verträgliche) Kartenumgebung ${\displaystyle {}P\in U_{P}}$, die in einem der ${\displaystyle {}W_{i}}$ liegt und für die es Ballumgebungen

${\displaystyle {}U{\left(0,\delta _{P}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{P}\right)\subset V_{P}\,}$

gibt mit ${\displaystyle {}P\in \alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}}$ und ${\displaystyle {}\delta _{P}<\epsilon _{P}}$. Diese ${\displaystyle {}\alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}}$, ${\displaystyle {}P\in M}$, bilden dann ebenfalls eine offene Überdeckung von ${\displaystyle {}M}$. Nach Aufgabe können wir zu einer abzählbaren Teilüberdeckung davon übergehen. Wir können also annehmen, dass ein System von Karten ${\displaystyle {}U_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in \mathbb {N} }$, zusammen mit Ballumgebungen

${\displaystyle {}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,}$

derart gegeben ist, dass auch ${\displaystyle {}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}}$, ${\displaystyle {}j\in \mathbb {N} }$, eine offene Überdeckung von ${\displaystyle {}M}$ ist, dass jedes ${\displaystyle {}U_{j}}$ in einem ${\displaystyle {}W_{i(j)}}$ liegt und dass die oben beschriebene Beziehung zu der kompakten Ausschöpfung gilt.
  Wir werden eine Teilmenge ${\displaystyle {}J\subseteq \mathbb {N} }$ derart definieren, dass die Familie ${\displaystyle {}U_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, auch noch die Endlichkeitseigenschaft erfüllt. Zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ betrachten wir die kompakte Menge ${\displaystyle {}A_{n+1}\setminus A_{n}^{o}}$. Diese wird von endlich vielen der ${\displaystyle {}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}}$, ${\displaystyle {}j\in \mathbb {N} }$, überdeckt, und zwar braucht man dazu nur Indizes ${\displaystyle {}j}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}U_{j}}$ in ${\displaystyle {}A_{n+2}^{o}\setminus A_{n-1}}$ liegt. Die zugehörige endliche Indexmenge sei mit ${\displaystyle {}J_{n}}$ bezeichnet, und sei ${\displaystyle {}J=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }J_{n}}$. Dann wird jedes ${\displaystyle {}A_{n}}$ nur von endlich vielen der ${\displaystyle {}U_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, getroffen.