Mannigfaltigkeit/Punkt ersetzen/Rand/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}P\in U\subseteq M}$ ein offenes Kartengebiet mit der Karte

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

Wir können davon ausgehen, dass ${\displaystyle {}\alpha (P)}$ der Nullpunkt ist und das ${\displaystyle {}V}$ der offene Ball mit Radius ${\displaystyle {}3}$ ist. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon U{\left(0,3\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)}$

ein Diffemorphismus, der auf ${\displaystyle {}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}}$ die Identität ist und der ${\displaystyle {}U{\left(0,2\right)}\setminus \{0\}}$ auf ${\displaystyle {}U{\left(0,2\right)}\setminus B\left(0,1\right)}$ abbildet. Eine solche Abbildung erhält man, wenn man mit der Funktion

${\displaystyle h\colon [0,3]\longrightarrow [0,3]}$

mit

${\displaystyle {}h(r)={\begin{cases}1+{\frac {1}{4}}r^{2}{\text{ für }}0\leq r\leq 2\,,\\r{\text{ für }}r>2\,,\end{cases}}\,}$

die Punkte streckt. Dabei kann man das Bild des Diffeomorphismus ${\displaystyle {}\varphi }$, also ${\displaystyle {}U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)}$, als

${\displaystyle {}U{\left(0,3\right)}\setminus B\left(0,1\right)\subset U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}\,}$

auffassen, wobei die größere Menge eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand ${\displaystyle {}S{\left(0,1\right)}}$ ist. Es sei ${\displaystyle {}N}$ die Mannigfaltigkeit, die entsteht, wenn man ${\displaystyle {}U}$ durch ${\displaystyle {}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,1\right)}}$ ersetzt. Die Sphäre wird dabei zum Rand von ${\displaystyle {}N}$. Den Diffeomorphismus ${\displaystyle {}\varphi }$ man man zu einem Diffeomorphismus

${\displaystyle M\setminus \{P\}\longrightarrow N\setminus \partial N}$

${\displaystyle {}U{\left(0,3\right)}\setminus U{\left(0,2\right)}}$