Mannigfaltigkeit mit Rand/Unendlich viele R/Aufgabe/Lösung

Die Funktion

${\displaystyle h\colon ]-1,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x^{2}-1}},}$

läuft an den beiden Grenzen gegen unendlich, der Graph zu ${\displaystyle {}h}$ ist diffeomorph zu ${\displaystyle {}]-1,1[}$ und damit auch zu ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Wir betrachten nun zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} }$ die entsprechende Funktion, deren Definitonsbereich um ${\displaystyle {}4n}$ verschoben wird (also mit dem Definitionsbereich ${\displaystyle {}]4n-1,4n+1[}$). Es sei ${\displaystyle {}G_{n}}$ der zugehörige Graph und ${\displaystyle {}U_{n}}$ der zugehörige offene (!) Epigraph. Wir setzen

${\displaystyle {}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \biguplus _{n\in \mathbb {Z} }U_{n}\,.}$

${\displaystyle {}G_{n}}$