Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

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Die Menge ${}\Gamma$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn sie widerspruchsfrei ist und wenn jede Hinzunahme eines jeden Ausdrucks ${}\alpha \not \in \Gamma$ die Menge widersprüchlich macht.
Ein System ${}F$ ${}F$ aus offenen Teilmengen von ${}X$ ${}X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ( $U,V$ $U,V$ seien offen).
1. ${}X\in F$ .
2. Mit ${}U\in F$ und ${}U\subseteq V$ ist auch ${}V\in F$ .
3. Mit ${}U\in F$ und ${}V\in F$ ist auch ${}U\cap V\in F$ .
Die Terminterpretation ${}I(t)\in M$ ${}I(t)\in M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden ${}S$ ${}S$ -Term ${}t$ ${}t$ definiert.
1. Für jede Konstante ${}c$ und jede Variable ${}x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also ${}I(c)=c^{M}$ und ${}I(x)=x^{M}$ .
2. Wenn ${}t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit Interpretationen ${}I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn ${}f$ ein ${}n$ -stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term ${}ft_{1}\ldots t_{n}$ als ${}f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.
Die Teilmenge ${}T$ heißt funktional abgeschlossen, wenn für jede Konstante ${}c\in S$ das Element ${}c^{M}$ zu ${}T$ gehört und für jedes ${}k$ -stellige Funktionssymbol ${}f$ und beliebige Elemente ${}m_{1},\ldots ,m_{k}\in T$ auch ${}f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{k})$ zu ${}T$ gehört.
Die Theorie ${}T$ heißt vollständig, wenn für jeden Satz ${}\alpha \in L_{0}^{S}$ gilt ${}\alpha \in T$ oder ${}\neg \alpha \in T$ .
Unter einem modallogischen Modell versteht man einen gerichteten Graphen ${}(M,R)$ zusammen mit einer Wahrheitsbelegung ${}\mu$ für die Aussagenvariablen für jeden Knotenpunkt ${}w\in M$ .

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