Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein maximales Element ${\displaystyle {}x\in I}$ in einer geordneten Menge ${\displaystyle {}(I,\preccurlyeq )}$.
2. Die Termsubstitution ${\displaystyle {}s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}}$ für ${\displaystyle {}S}$-Terme ${\displaystyle {}s}$ (dabei sei ${\displaystyle {}S}$ ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe, ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{k}}$ paarweise verschiedene Variablen und ${\displaystyle {}t_{1},\ldots ,t_{k}}$ fixierte ${\displaystyle {}S}$-Terme).
3. Der Rang eines prädikatenlogischen Ausdrucks ${\displaystyle {}\alpha }$.
4. Die elementare Äquivalenz von zwei ${\displaystyle {}S}$-Strukturen ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ über einem erststufigen Symbolalphabet ${\displaystyle {}S}$.
5. Eine ${\displaystyle {}R}$-berechenbare Funktion

   ${\displaystyle F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N} .}$

6. Die ${\displaystyle {}\beta }$-Funktion ${\displaystyle {}\beta (p,n,i)}$.