Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}S}$

${\displaystyle {}s,t,t_{1},\ldots ,t_{n}}$

${\displaystyle {}\alpha ,\beta }$

1. ${\displaystyle {}I\vDash s=t}$, wenn ${\displaystyle {}I(s)=I(t)}$.
2. ${\displaystyle {}I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}}$, wenn ${\displaystyle {}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))\in R^{M}}$.
3. ${\displaystyle {}I\vDash \neg {\left(\alpha \right)}}$, wenn nicht ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ gilt.
4. ${\displaystyle {}I\vDash {\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)}}$, wenn ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ und ${\displaystyle {}I\vDash \beta }$ gilt.
5. ${\displaystyle {}I\vDash {\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)}}$, wenn die Gültigkeit ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ die Gültigkeit ${\displaystyle {}I\vDash \beta }$ impliziert.
6. ${\displaystyle {}I\vDash \exists x\alpha }$, wenn es ein ${\displaystyle {}m\in M}$ gibt mit ${\displaystyle {}I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha }$.
7. ${\displaystyle {}I\vDash \forall x\alpha }$, wenn für alle ${\displaystyle {}m\in M}$ die Beziehung ${\displaystyle {}I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha }$ gilt.

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

heißt ${\displaystyle {}S}$-Isomorphismus, wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ bijektiv ist und sowohl ${\displaystyle {}\varphi }$ als auch die Umkehrabbildung ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}}$ ein ${\displaystyle {}S}$-Homomorphismus ist.

${\displaystyle \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha }$

nennt man Transitivitätsaxiom.

${\displaystyle {}\alpha }$

${\displaystyle {}w\in M}$

${\displaystyle w\vDash \Box \alpha }$

genau dann, wenn in jeder von ${\displaystyle {}w}$ aus erreichbaren Welt ${\displaystyle {}v}$ die Beziehung

${\displaystyle v\vDash \alpha }$

gilt.