Mathematische Logik/Modellbeziehung/Definition

Zu einem Symbolalphabet ${\displaystyle {}S}$ erster Stufe und einer ${\displaystyle {}S}$-Interpretation ${\displaystyle {}I}$ in einer Menge ${\displaystyle {}M}$ werden die ${\displaystyle {}S}$-Ausdrücke folgendermaßen (induktiv über den Aufbau der Ausdrücke) interpretiert und als gültig (oder ungültig) charakterisiert (die Gültigkeit einer Aussage ${\displaystyle {}\alpha }$ unter der Interpretation wird dabei als ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ geschrieben). Es seien ${\displaystyle {}s,t,t_{1},\ldots ,t_{n}}$ Terme, ${\displaystyle {}R}$ ein ${\displaystyle {}n}$-stelliges Relationssymbol und ${\displaystyle {}\alpha ,\beta }$ Ausdrücke.

1. ${\displaystyle {}I\vDash s=t}$, wenn ${\displaystyle {}I(s)=I(t)}$.
2. ${\displaystyle {}I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}}$, wenn ${\displaystyle {}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))\in R^{M}}$.
3. ${\displaystyle {}I\vDash \neg {\left(\alpha \right)}}$, wenn nicht ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ gilt.
4. ${\displaystyle {}I\vDash {\left(\alpha \right)}\wedge {\left(\beta \right)}}$, wenn ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ und ${\displaystyle {}I\vDash \beta }$ gilt.
5. ${\displaystyle {}I\vDash {\left(\alpha \right)}\rightarrow {\left(\beta \right)}}$, wenn die Gültigkeit ${\displaystyle {}I\vDash \alpha }$ die Gültigkeit ${\displaystyle {}I\vDash \beta }$ impliziert.
6. ${\displaystyle {}I\vDash \exists x\alpha }$, wenn es ein ${\displaystyle {}m\in M}$ mit ${\displaystyle {}I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha }$ gibt.
7. ${\displaystyle {}I\vDash \forall x\alpha }$, wenn für alle ${\displaystyle {}m\in M}$ die Beziehung ${\displaystyle {}I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha }$ gilt.