Matrix/3x3/Eigenwerte/1/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}x&-1&1\\-1&x&0\\-1&0&x\end{pmatrix}}=x^{3}-x+x=x^{3}\,.}$

Somit ist ${\displaystyle {}0}$ der einzige Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit ${\displaystyle {}3}$. Der Kern von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&1&-1\\1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$ ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}.}$

Dabei ist klar, dass dies zum Kern gehört. Der Rang der Matrix ist ${\displaystyle {}2}$, da die beiden ersten Zeilen linear unabhängig sind. Nach der Dimensionsformel ist also der Kern eindimensional und die geometrische Vielfachheit ist ${\displaystyle {}1}$.