Matrix/Minimalpolynom/Körpererweiterung/Aufgabe/Lösung

Das Polynom ${\displaystyle {}P}$ kann man direkt als ${\displaystyle {}P\in K[X]\subseteq L[X]}$ auffassen. Es sei ${\displaystyle {}d}$ der Grad von ${\displaystyle {}P}$. Es sei ${\displaystyle {}P'\in L[X]}$ das Minimalpolynom zu ${\displaystyle {}M}$, wenn man die Matrix über ${\displaystyle {}L}$ betrachtet. Die Eigenschaft ${\displaystyle {}P(M)=0}$ gilt über ${\displaystyle {}K}$ und auch über ${\displaystyle {}L}$, da die Matrizenoperationen unabhängig vom Körper sind. Daher ist ${\displaystyle {}P}$ ein Vielfaches ${\displaystyle {}P'}$ in ${\displaystyle {}L[X]}$ und der Grad von ${\displaystyle {}P'}$ kann allenfalls runtergehen. Da das Minimalpolynom über ${\displaystyle {}K}$ den Grad ${\displaystyle {}d}$ besitzt, sind die Potenzen

${\displaystyle M^{0}=E_{n},\,M^{1},\,M^{2},\ldots ,M^{d-1}}$

linear unabhängig

als Elemente in ${\displaystyle {}\operatorname {Mat} _{n}(K)\cong K^{n^{2}}}$. Diese lineare Unabhängigkeit bleibt beim Übergang von ${\displaystyle {}K}$ nach ${\displaystyle {}L}$ erhalten, da man dies durch das Eliminationsverfahren überprüfen kann. Daher kann es auch über ${\displaystyle {}L}$ kein annullierendes Polynom kleineren Grades geben.