Matrizen/R/Symmetrisch und antisymmetrisch/Dimension/Aufgabe/Lösung

a) Die Nullmatrix ist symmetrisch und antisymmetrisch. Für zwei symmetrische Matrizen ${\displaystyle {}T_{1}=(a_{ij})_{ij}}$ und ${\displaystyle {}T_{2}=(b_{ij})_{ij}}$ und Skalare ${\displaystyle {}r,s\in \mathbb {R} }$ ist

${\displaystyle {}rT_{1}+sT_{2}=(ra_{ij}+sb_{ij})_{ij}\,}$

offenbar wieder symmetrisch, daher liegt eine Untervektorraum vor.

b) Alle Diagonalmatrizen sind symmetrisch und die Diagonalmatrizen ${\displaystyle {}D_{i}}$, für die der ${\displaystyle {}i}$-te Diagonaleintrag eine ${\displaystyle {}1}$ ist und für die alle anderen Einträge ${\displaystyle {}0}$ sind, bilden eine Basis davon. Ferner sind für ${\displaystyle {}i>j}$ die Matrizen ${\displaystyle {}E_{ij}}$, für die

${\displaystyle {}a_{ij}=a_{ji}=1\,}$

und alle übrigen Einträge ${\displaystyle {}0}$ sind, ebenfalls symmetrisch. Diese bilden eine Basis aller symmetrischen Matrizen, wie man sieht, wenn man von allen Matrizen die oberen Dreiecksausschnitte betrachtet. Die Dimension dieses Raumes ist somit

${\displaystyle {}n+1+2+\cdots +n-1={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}$

c) Für eine Linearkombination zweier antisymmetrischer Matrizen wie in a) ist der Eintrag ${\displaystyle {}c_{ij}}$ gleich

${\displaystyle {}ra_{ij}+sb_{ij}=\,}$

und der Eintrag ${\displaystyle {}c_{ji}}$ gleich

${\displaystyle {}c_{ji}=ra_{ji}+sb_{ji}=r(-a_{ij})+s(-b_{ij})=-(ra_{ij}+sb_{ij})=-c_{ij}\,,}$

daher ergibt dies wieder antisymmetrische Matrizen.

d) Wegen

${\displaystyle {}a_{ii}=-a_{ii}\,}$

müssen die Diagonaleinträge von antisymmetrischen Matrizen gleich ${\displaystyle {}0}$ sein. Für ${\displaystyle {}i>j}$ legt der Eintrag ${\displaystyle {}a_{ij}}$ den Eintrag ${\displaystyle {}a_{ji}}$ fest. Für ${\displaystyle {}i>j}$ seien ${\displaystyle {}F_{ij}}$ die antisymmetrischen Matrizen mit ${\displaystyle {}a_{ij}=1}$ und ${\displaystyle {}a_{ji}=-1}$, wobei alle übrigen Einträge gleich ${\displaystyle {}0}$ seien. Diese bilden eine Basis des Raumes aller antisymmetrischen Matrizen, dessen Dimension somit ${\displaystyle {}{\frac {n(n-1)}{2}}}$ ist.

e) Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&{\frac {7}{2}}\\{\frac {7}{2}}&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&{\frac {5}{2}}\\-{\frac {5}{2}}&0\end{pmatrix}}\,.}$

f) Es sei ${\displaystyle {}T}$ eine sowohl symmetrische als auch antisymmetrische Matrix. Dann ist direkt

${\displaystyle {}a_{ij}=-a_{ji}=-a_{ij}\,}$

und daher ist

${\displaystyle {}a_{ij}=0\,.}$

Es liegt also die Nullmatrix vor und somit ist

${\displaystyle {}S\cap A=0\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}{\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}\,}$

ist die Summe der Dimensionen der beiden Unterräume gleich der Dimension des Matrizenraumes, daher liegt eine direkte Summenzerlegung

${\displaystyle {}M=S\oplus A\,}$