Mehrdimensionale lineare Regression/Zerlegung

Die Lernresource zum Thema Mehrdimensionale_lineare_Regression und Zerlegung in Komponentenfunktionen kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Dabei wird lineare Funktion ${\displaystyle f}$ mit einem mehrdimensionalen Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und mehrdimensionalen Wertebereich ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$:

• (1) in Komponentenfunktionen ${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,m\}}$ zerlegt,
• (2) die algebraische Darstellung der Komponentenfunktionen ${\displaystyle f_{k}}$ betrachtet und
• (3) die Implementation in GNU R gezeigt.

Diese Lernressource zu Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung in der Wikiversity hat das Ziel, ...

Die Lernressource zum Thema Mehrdimensionale_lineare_Regression/Zerlegung hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

• Lineare Abbildung
• Lineare Regression mit eindimensionalen Definitionsbereich in R

Mit der im vorherigen Abschnitt genannt Transformation eines affine Problems in ein lineare betrachten wir im Folgenden nur lineare Zusammenhänge ${\displaystyle f(x):=A\cdot x\in \mathbb {R} ^{m}}$ mit den entsprechende Daten. Die lineare Abbildung ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ zerlegt man nun zur weiteren Vereinfachung noch in die Komponentenfunktionen ${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle k\in \{1,\ldots m\}}$.

Zunächst stellt man die Matrix ${\displaystyle A}$ mit den Zeilenvektoren ${\displaystyle a_{k}\in Mat(1\times n,\mathbb {R} )}$ dar.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )}$

Die Matrixmultiplikation lässt sich nun durch einen Vektor aus Skalarprodukten ersetzen.

${\displaystyle A\cdot x={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}\cdot x={\begin{pmatrix}\langle a_{1},x\rangle \\\vdots \\\langle a_{m},x\rangle \end{pmatrix}}\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )}$

Damit lassen sich die Komponentenfunktionen ${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ durch ${\displaystyle f_{k}(x)=\langle a_{k},x\rangle }$ darstellen.

Mit der obigen Zerlegung betrachtet man zunächst eine lineare Abbildung mit einem eindimensionalen Wertebereich ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$. Die Abbildung ${\displaystyle f_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ist damit durch das Standardskalprodukt mit einem Vektor ${\displaystyle a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ definiert der Werte aus ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \langle a,x\rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot x_{k}}$

Gegeben sind nun zwei Vektoren ${\displaystyle a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ und ${\displaystyle x:=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. Das euklische Skalarprodukt wird als Summe der komponentenweisen Produkte in GNU R implementiert und liefert Werte in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

   a <- c(1,-1,-2)
   x <- c(4,2,1)
   a*x  ## komponentenweises Produkt der Vektoren
   sum(a*x) ## Summe der Vektorkomponenten

Die beiden im Beispiel angegebenen Vektoren ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle x}$ stehen senkrecht aufeinander - ${\displaystyle \langle a,x\rangle =0}$.

Nun definiert man die Komponentenfunktion ${\displaystyle f_{a}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ und mit der definierten Funktion wird ${\displaystyle f_{a}(4,2,1)=15}$ berechnet.

   f_a <- function (px) {
    ## px : Vektor - unabhängige Variable
    a <- c(1,3,5)
    return <-  sum(a * px)
    ## Rückgabewert: return Berechneter y-Wert für Parameter px 
    return
  }
  
  ## Aufruf der Funktion für den Vektor x
  x <- c(4,2,1)
  f_a(x) ## Ergebnis 15

• GNU R - Wikibook
• Wiki2Reveal

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