Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eine Menge und es sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge aller bijektiven Abbildungen von ${\displaystyle {}X}$ nach ${\displaystyle {}X}$. Die Hintereinanderschaltung von Abbildungen führt zu einer Verknüpfung auf ${\displaystyle {}M}$, die nach Fakt assoziativ ist. Die Identität auf ${\displaystyle {}X}$, also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst abbildet, wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {Id} _{X}}$ bezeichnet. Es ist offenbar

${\displaystyle {}\operatorname {Id} _{X}\circ F=F=F\circ \operatorname {Id} _{X}\,}$

für eine beliebige Abbildung

${\displaystyle F\colon X\longrightarrow X,}$

daher ist ${\displaystyle {}\operatorname {Id} _{X}}$ das neutrale Element von ${\displaystyle {}M}$. Zu jeder bijektiven Abbildungen

${\displaystyle F\colon X\longrightarrow X}$

gibt es die Umkehrabbildung ${\displaystyle {}F^{-1}}$, daher ist

${\displaystyle {}F\circ F^{-1}=\operatorname {Id} _{X}=F^{-1}\circ F\,,}$

und somit gibt es zu jedem ${\displaystyle {}F\in M}$ ein inverses Element. Insgesamt ist also ${\displaystyle {}M}$ eine Gruppe.