Menge/Potenzmenge/Übermächtigkeit/Fakt/Beweis

Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung

${\displaystyle F\colon M\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,x\longmapsto F(x),}$

gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir

${\displaystyle {}T={\left\{x\in M\mid x\notin F(x)\right\}}\,.}$

Da dies eine Teilmenge von ${\displaystyle {}M}$ ist, muss es wegen der Surjektivität ein ${\displaystyle {}y\in M}$ geben mit

${\displaystyle {}F(y)=T\,.}$

Es gibt nun zwei Fälle, nämlich ${\displaystyle {}y\in F(y)}$ oder ${\displaystyle {}y\not \in F(y)}$. Im ersten Fall ist also ${\displaystyle {}y\in T}$, und damit, nach der Definition von ${\displaystyle {}T}$, auch ${\displaystyle {}y\notin F(y)}$, Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von ${\displaystyle {}T}$, ${\displaystyle {}y\in T}$, und das ist ebenfalls ein Widerspruch.