Menge/Potenzmenge/Komplement/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge einer Menge ${\displaystyle {}M}$ mit dem Komplement ${\displaystyle {}M\setminus T}$.

1. Zeige

   ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\,.}$

2. Es sei ${\displaystyle {}M=\{a,b,c,d,e\}}$ und ${\displaystyle {}T=\{b,c,e\}}$. Zu welchen Potenzmengen gehört die Menge ${\displaystyle {}\{a\}}$? Zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(T)}$? Zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(M)}$? Zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)}$?
3. Es sei ${\displaystyle {}M=\mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}T}$ die Teilmenge der geraden Zahlen. Formuliere in Worten, was die Zugehörigkeit einer Teilmenge ${\displaystyle {}A\subseteq \mathbb {N} }$ zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)}$ und zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)}$ bedeutet.
4. Gilt

   ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\,?}$

5. Gilt

   ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\,?}$