Messraum/Messbare Funktionenfolge/a ist Häufungspunkt/Messbar/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein Messraum und es sei

${\displaystyle f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R} }$

(${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$) eine Folge von messbaren Funktionen, wobei ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ die ${\displaystyle {}\sigma }$-Algebra der Borelmengen trägt. Es sei ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$. Zeige, dass die Menge

${\displaystyle {}M={\left\{x\in X\mid a{\text{ ist ein H}}{\ddot {\rm {a}}}{\text{ufungspunkt der Folge }}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right\}}\,}$

eine messbare Teilmenge von ${\displaystyle {}X}$ ist.