Minkowski-Raum/2/Beobachtervektor/Rationale Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}},{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\right\rangle &={\frac {1}{4}}{\left({\left(z-{\frac {1}{z}}\right)}^{2}-{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(z^{2}-2+{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}-z^{2}-2-{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&=-1\end{aligned}}}$

und ebenso

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}},{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\right\rangle &={\frac {1}{4}}{\left({\left(-z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}-{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(z^{2}-2+{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}-z^{2}-2-{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&=-1,\end{aligned}}}$

somit sind dies Beobachtervektoren.

Es sei umgekehrt ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ ein Beobachtervektor, also

${\displaystyle {}x^{2}-y^{2}=-1\,.}$

Wir müssen zeigen, dass dieser Vektor von einer der angegebenen Gestalt ist und betrachten daher die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}=y\,.}$

Multiplikation mit ${\displaystyle {}z}$ führt auf

${\displaystyle {}z^{2}-2yz+1=0\,}$

bzw. auf

${\displaystyle {}(z-y)^{2}+1-y^{2}=0\,}$

und auf

${\displaystyle {}z=\pm {\sqrt {y^{2}-1}}+y\,,}$

${\displaystyle {}\pm x}$

${\displaystyle {}x}$

${\displaystyle {}z}$