Modallogik/Rahmen/Symmetrie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}(M,R)}$ gegeben. Es sei zunächst ${\displaystyle {}R}$ symmetrisch und sei

${\displaystyle w\vDash \alpha .}$

Es sei eine von ${\displaystyle {}w}$ aus erreichbare Welt ${\displaystyle {}v}$ gegeben, also ${\displaystyle {}wRv}$. Wegen der Symmetrie ist auch ${\displaystyle {}vRw}$ und somit ist

${\displaystyle v\vDash \Diamond \alpha .}$

Also ist

${\displaystyle w\vdash \Box \Diamond \alpha .}$

Wenn ${\displaystyle {}R}$ hingegen nicht symmetrisch ist, so seien ${\displaystyle {}w,v\in M}$ Welten mit ${\displaystyle {}wRv}$, aber nicht ${\displaystyle {}vRw}$. Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Aussagenvariable und es sei ${\displaystyle {}\mu }$ die Belegung, bei der

${\displaystyle w\vDash p}$

gelte und so, dass in allen von ${\displaystyle {}v}$ aus erreichbaren Welten ${\displaystyle {}z\vDash \neg p}$ gelte. Dann ist

${\displaystyle v\vDash \neg \Diamond p,}$

und somit ist

${\displaystyle w\not \vDash \Box \Diamond p,}$

also

${\displaystyle w\not \vDash p\rightarrow \Box \Diamond p.}$