Modul/Endlich erzeugt/Lokal frei/Hauptnenneraufnahme/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Modul. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ genau dann lokal frei ist, wenn es Elemente ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$ mit

${\displaystyle {}{\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}=R\,}$

derart gibt, dass die ${\displaystyle {}M_{f_{i}}}$ frei sind.