Modul/Ideal/Cayley-Hamilton/Fakt

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul, der von ${\displaystyle {}n}$ Elementen erzeugt werde. Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon M\rightarrow M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modulhomomorphismus mit

${\displaystyle {}\varphi (M)\subseteq {\mathfrak {a}}M\,.}$

Dann gibt es ein normiertes Polynom

vom Grad ${\displaystyle {}n}$ und mit ${\displaystyle {}a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}}$ und mit ${\displaystyle {}P(\varphi )=0}$.