Modultheorie/Modul/Definition

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Ring und ${\displaystyle {}M=(M,+,0)}$ eine kommutative Gruppe. Man nennt ${\displaystyle {}M}$ einen ${\displaystyle {}R}$-Linksmodul, wenn es eine Operation

${\displaystyle R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,}$

gibt, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${\displaystyle {}r,s\in R}$ und ${\displaystyle {}u,v\in M}$ beliebig):

1. ${\displaystyle {}r(su)=(rs)u}$,
2. ${\displaystyle {}1u=u}$,
3. ${\displaystyle {}r(u+v)=(ru)+(rv)}$,
4. ${\displaystyle {}(r+s)u=(ru)+(su)}$.

Auf entsprechende Weise definiert man durch Operation von Rechts einen Rechtsmodul. Wenn klar ist was gemeint ist wird auch einfach von einem Modul gesprochen - insbesondere, da sich jeder Rechtsmodul durch ein Linksmodul über dem gespiegelten Ring simulieren lässt.