Monoid/Spektrum/Orbitabbildung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid, ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)}}$ ein fixierter Punkt.

a) Zeige, dass es eine stetige Abbildung

${\displaystyle \Psi _{P}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)},\,Q\longmapsto Q\cdot P,}$

gibt.

b) Beschreibe den zugehörigen ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus ${\displaystyle {}K[M]\rightarrow K[M]}$.

c) Charakterisiere, für welche ${\displaystyle {}P}$ diese Abbildung bijektiv ist.