Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid und sei ${\displaystyle {}f\in M}$. Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}M_{f}={\left\{m-nf\mid m\in M,\,n\in \mathbb {N} \right\}}/\sim \,,}$

wobei die Relation

${\displaystyle {}m-nf\sim m'-n'f\,}$

genau dann gilt, wenn es ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$ derart gibt, dass

${\displaystyle {}m+n'f+kf=m'+nf+kf\,}$

in ${\displaystyle {}M}$ gilt.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf ${\displaystyle {}M_{f}}$ eine Monoidstruktur.

c) Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}T^{f}\in R[M]}$ das Monom zu ${\displaystyle {}f}$ im Monoidring. Zeige

${\displaystyle {}R[M_{f}]\cong R[M]_{T^{f}}\,.}$