Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt/Beweis

Es ist ${\displaystyle {}\Phi }$ linear in jeder Komponente, wenn man die anderen Komponenten festhält. Eine lineare Abbildung ist mit beliebigen Linearkombinationen verträglich. Wir ziehen die Summen sukzessive nach vorne und verarbeiten die einzelnen geordneten Summe in eine einzige ungeordnete Summe.

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\Phi {\left(\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}v_{1j},\sum _{j=1}^{m_{2}}a_{2j}v_{2j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}\Phi {\left(v_{1j},\sum _{j=1}^{m_{2}}a_{2j}v_{2j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}{\left(\sum _{j=1}^{m_{2}}a_{2j}\Phi {\left(v_{1j},v_{2j},\sum _{j=1}^{m_{3}}a_{3j}v_{3j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},j_{2})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \{1,\ldots ,m_{2}\}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},v_{2j_{2}},\sum _{j=1}^{m_{3}}a_{3j}v_{3j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},j_{2})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \{1,\ldots ,m_{2}\}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}{\left(\sum _{j=1}^{m_{3}}a_{3j}\Phi {\left(v_{1j_{1}},v_{2j_{2}},v_{3j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},j_{2},j_{3})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \{1,\ldots ,m_{2}\}\times \{1,\ldots ,m_{3}\}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},v_{2j_{2}},v_{3j_{3}},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\ldots \\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},\ldots ,v_{nj_{n}}\right)}.\,\end{aligned}}}$