Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität

Wenn wir die ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Regularität eines Elementes ${\displaystyle z\in A}$ für eine multiplikativ lokalkonvexe topologische Algebra ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ sprechen, suchen wir nach einer multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterungen ${\displaystyle (B,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}$ von ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ in der ${\displaystyle z\in A}$ invertierbar ist. Dabei besteht

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}:=\{\|\cdot \|_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$ und
• ${\displaystyle \|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\|\cdot \|_{\widetilde {\alpha }}\,:\,{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\}}$

aus einem System von submultiplikativen Halbnormen, die die Topologie auf ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$ erzeugen.

Zielsetzung einer multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung ${\displaystyle (B,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}$ zu einer gegebenen topologischen Algebra ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ mit ${\displaystyle z\in A}$ ist es, die gegebene multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element ${\displaystyle z^{-1}:=b\in B}$ in der multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ besitzt. Als topologieerzeugende ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionale werden hier Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ verwendet.

Für kommutative multiplikativ lokalkonvexe Algebren ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ mit unital positivem System von erhält man folgende Charakterisierung:

• ${\displaystyle z\in A}$ ${\displaystyle {\mathcal {MLC_{e}^{k}}}}$-singulär ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle z\in {\mathcal {MTNT}}(A)}$ (multiplikativer topologischer Nullteiler)
• ${\displaystyle z\in A}$ ${\displaystyle {\mathcal {MLC_{e}^{k}}}}$-regulär ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ein ${\displaystyle D_{\alpha }>0}$ mit ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \|z\cdot x\|_{\alpha }}$ für alle ${\displaystyle x\in A}$

Dabei sind ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ submultiplikative Halbnormen.

Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle A}$ ist hier eine mulitplikative lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element ${\displaystyle b=z^{-1}\in B}$ zu einem gegebenen ${\displaystyle z\in A}$ enthält.

• Negieren Sie die Aussage, dass ${\displaystyle z\in A}$ kein topologischer Nullteiler ist und formulieren ${\displaystyle z\notin {\mathcal {TNT}}(A)}$ für ein submultiplikative Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$.
• Zeigen Sie, dass in einer ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Algebra mit ${\displaystyle z\in A}$ ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}(A)}$-regulär ist, wenn folgende Bedingung gilt (siehe Zelazko 1971^[1])

${\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,D_{\beta }>0}\forall _{x\in A}\,\,\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }}$.

• Zeigen Sie mit der Charakterisierung der ${\displaystyle {\mathcal {MPC}}(A)}$-Regularität, dass die ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}(A)}$-singulären Elemente genau die topologischen Nullteiler sind.

Sei ${\textstyle {\mathcal {MLC}}_{e}}$ die Klasse der multiplikativen lokalkonvexen unitalen Algebren und ${\textstyle A\in {\mathcal {MLC}}_{e}}$. Die Algebraerweiterung ${\textstyle B\in {\mathcal {MLC}}_{e}}$ bzw. ${\textstyle {\mathcal {MLC}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus ${\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}$ mit:

• ${\textstyle \tau (e_{_{A}})=e_{_{B}}}$, wobei ${\textstyle e_{_{A}}}$ ist das Einselement von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle e_{_{B}}\in A'}$ das Einselement von ${\textstyle B}$ ist.
• ${\textstyle A}$ ist homöomorph zu ${\textstyle A'}$; d.h. ${\textstyle \tau }$ und ${\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}$ sind stetig.

Der Algebraisomorphismus wird über normierte Quotientenalgebren ${\displaystyle A_{\alpha }}$ definiert. wobei mit  :${\displaystyle \tau _{\alpha }:A_{\alpha }\to A'_{\alpha }\subset B_{\alpha }}$ mit ${\displaystyle \tau _{\alpha }(x)=[x]_{\alpha }\in A'_{\alpha }}$ bezeichnet und

${\displaystyle \tau :A\longrightarrow A'\subset \prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}A_{\alpha }\subset \prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}B_{\alpha }=B{\mbox{ mit }}\tau (x):=(\tau _{\alpha }(x))_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen.

• Im allgemeinen identifiziert man ${\textstyle A}$ mit ${\textstyle A'}$ und schreibt ${\textstyle A\subset B}$. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus ${\displaystyle x\in A}$ mit Elementen ${\displaystyle \tau (x)=x+I\in B}$ in einem Quotientenraum ${\displaystyle B:=A[t]/I}$ identifiziert werden.
• Sei ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von ${\textstyle B}$ auf ${\textstyle A'}$ und ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis von ${\textstyle A}$, dann kann man die Homöomorphie zwischen ${\textstyle A}$ und ${\textstyle A'}$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&U\subset V\,\,\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&V\subset U\,\,\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}}$

Betrachtet man die Halbnormen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}},C_{1}(\alpha )>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{1}(\alpha )\cdot \left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A}\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A'}\circ \tau \\\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},C_{2}({\widetilde {\alpha }})>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}{\widetilde {\alpha }}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A'}\circ \tau \leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A}.\end{array}}}$

Für die Konstruktion des Algebraisomorphismus geht man wie folgt vor:

• (KA1) man konstruiert zunächst einen Algebrahomomorphismus ${\displaystyle \tau :A\to B}$ und zeigt, dass dieser stetig ist.
• (KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist ${\displaystyle Kern(\tau )=\{0_{A}\}}$
• (KA3) man definiert mit ${\displaystyle A':=\tau (A)\subset B}$, die Umkehrabbildung ${\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}$ und zeigt, dass ${\displaystyle \tau ^{-1}}$ ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ und nutzen die Charakterisierung ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-Regularität für die ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Erweiterung von ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{A})}$.

Ohne Einschränkung seien die submultiplikativen Halbnormen unital positiv, d.h. ${\displaystyle \|e_{A}\|_{\alpha }>0}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$. Falls das nicht der Fall ist, geht man zu einem äquivalenten Halbnormensystem über ${\displaystyle \|e_{A}\|_{\alpha }^{(+)}>0}$ über. Weil ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ Hausdorffraum ist, gibt es ein ${\displaystyle \alpha _{o}\in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle \|e_{A}\|_{\alpha _{o}}>0}$. Man definiert dann ${\displaystyle U_{\alpha }=B_{1}^{\alpha }(0_{A})\cap B_{1}^{\alpha _{o}}(0_{A})}$ und

${\displaystyle \|x\|_{\alpha }^{(+)}:=p_{U_{\alpha }}(x)=\max\{\|x\|_{\alpha },\|x\|_{\alpha _{o}}\}}$

als Minkowski-Funktional von ${\displaystyle U_{\alpha }}$ und ${\displaystyle U_{\alpha }\cdot U_{\alpha }\subset U_{\alpha }}$, da ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ und damit auch ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha _{o}}}$ submultiplikativ sind. ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ist eine offene Menge in ${\displaystyle A}$, da ${\displaystyle U_{\alpha }}$ als Schnitt von zwei offenen Mengen definiert ist und der endliche Schnitt von offenen Mengen in einer Topologie ist wieder offen.

Zeigen Sie, dass die Halbnormensysteme ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}^{(+)}}$ äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind!

Ohne Einschränkung sei das gegebene Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ auf einer unital positiven ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Algebra ${\displaystyle A}$. Ferner sei ${\displaystyle z\in A}$ kein topologischer Nullteiler (${\displaystyle z\notin {\mathcal {TNT}}(A)}$). Zeigen Sie, dass für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ebenfalls ${\displaystyle \|z\|_{\alpha }>0}$ gilt.

Wenn ${\displaystyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ erfüllt ist, gibt es ein ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, sodass für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ gilt

${\displaystyle \inf _{x\in A\,\,\|x\|_{\alpha }=1}\|z\cdot x\|_{\beta }=0}$

Damit ist insbesondere für ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ (d.h. ${\displaystyle \|x\|_{\beta }\geq \|x\|_{\alpha }}$ für alle ${\displaystyle x\in A}$ die folgende Bedingung erfüllt

${\displaystyle \inf _{\|x\|_{\beta }=1}\|z\cdot x\|_{\beta }=0.}$

Man erhält die folgenden Abschätzung für ${\displaystyle \gamma \geq \alpha }$, d.h. ${\displaystyle {\frac {1}{\|x\|_{\gamma }}}\leq {\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}}$ für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und alle ${\displaystyle x\in A}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}0&=&\displaystyle \inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=\displaystyle \inf _{\|x\|_{\alpha }>0}\left\|z\cdot {\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}\right\|_{\beta }\\&\geq &\displaystyle \inf _{\|x\|_{\gamma }>0}\left\|z\cdot {\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}\right\|_{\beta }\geq \displaystyle \inf _{\|x\|_{\gamma }>0}\left\|z\cdot {\frac {x}{\|x\|_{\gamma }}}\right\|_{\beta }\\&\geq &\displaystyle \inf _{\|x\|_{\gamma }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }\geq 0\\\end{array}}}$

Insgesamt erhält man für ${\displaystyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ die äquivalente Bedingung:

${\displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{\beta \in {\mathcal {A}},\,\,\gamma \geq \alpha }\forall _{x\in A}\,\,\displaystyle \inf _{\|x\|_{\gamma }=1}\|z\cdot x\|_{\beta }=0.}$

Insbesondere gilt für alle ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$

${\displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{\beta \in {\mathcal {A}},\,\,\beta \geq \alpha }\forall _{x\in A}\,\,\displaystyle \inf _{\|x\|_{\beta }=1}\|z\cdot x\|_{\beta }=0}$.

Also gibt es mindestens ein ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, sodass für alle ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ gilt:

${\displaystyle z_{\beta }\in {\mathcal {TNT}}(A_{\beta })={\mathcal {TNT}}(A/N_{\beta })}$.

Wenn man die ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Singularität betrachtet, gibt es zu jedem ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$, sodass ${\displaystyle z_{\beta }\notin {\mathcal {TNT}}(A_{\beta })}$ und es gilt mit der Eigenschaft ${\displaystyle z\notin {\mathcal {TNT}}(A)}$ erhält man die Eigenschaft:

${\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,D_{\beta }>0,\,\gamma \geq \alpha }\forall _{x\in A}\,\,\|x\|_{\gamma }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }\,\,\,(\ast )}$.

Mit der Eigenschaft ${\displaystyle z\notin {\mathcal {TNT}}(A)}$ erhält man zunächst einmal die Abschätzung:

${\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,D_{\beta }>0}\forall _{x\in A}\,\,\|x\|_{\alpha }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }\,\,\,(\ast )}$.

Durch die Negation erhält man, dass es zu jedem ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}:}$ ein ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$, in dem ${\displaystyle z_{\beta }\in {\mathcal {A_{\beta }}}}$ also kein topologischer Nullteiler ist. Diese Negation liefert nach

${\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta _{\alpha }\in {\mathcal {A}},\,D_{\beta _{\alpha }}>0}\forall _{x\in A}\,\,\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }\,\,\,(\ast )}$.

Wir definieren darüber nun ein weiteres Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ aus submultiplikativen Halbnormen wie folgt über die Eigenschaft von ${\displaystyle z\in A}$, kein topologischer Nullteiler zu sein:

• ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {A}}}\subseteq {\mathcal {A}}}$
• ${\displaystyle \beta _{\alpha }\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$, wenn ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle \beta _{\alpha }\in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle D_{\beta _{\alpha }}>0}$ die obige Gleichung ${\displaystyle (\ast )}$ erfüllt. Zeigen Sie, dass ${\displaystyle \|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind

Sei ${\displaystyle I\not =\emptyset }$ eine Indexmenge. In der folgenden Charakterisierung der ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Regularität werden Produkträume definiert bzw. als Algebraerweiterung konstruiert. Dabei wird folgende Kurzschreibweise des Produktraumes ${\displaystyle M}$ verwendet.

${\displaystyle M=(M_{i})_{i\in I}:=\prod _{i\in I}M_{i}:=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}}$

Ausgehend von ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ wird ein Produktraum ${\displaystyle ((A_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}},\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}})}$ von normierten Algebren ${\displaystyle (A_{\alpha },\|\!|\cdot |\!\|_{\alpha })}$ betrachtet und topologisiert. Auf die normierten Algebren wird mit der Eigenschaft ${\displaystyle z\notin {\mathcal {TNT}}(A)}$ die gesuchte Eigenschaft ${\displaystyle \|\!|[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \|\!|[z]_{\alpha }\cdot [x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }}$ geliefert und auf alle normierten Algebren ${\displaystyle (A_{\alpha },\|\!|\cdot |\!\|_{\alpha })}$ angewendet, um eine Algebraerweiterung ${\displaystyle (B_{\alpha },\|\!|\cdot |\!\|_{B_{\alpha }})}$ zu erhalten, in der ${\displaystyle [z]_{\alpha }\in A_{\alpha }}$ invertierbar ist.

Der Algebraisomorphismus wird dann mit

${\displaystyle \tau _{\alpha }:A_{\alpha }\to A'_{\alpha }\subset B_{\alpha }}$,

mit ${\displaystyle \tau _{\alpha }([z]_{\alpha })=z_{\alpha }\in A'_{\alpha }}$ bezeichnet.

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen.

Man betrachtet für jede submultitplikative Halbnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ das Ideal

${\displaystyle N_{\alpha }:=\{x\in A\,\colon \,\|x\|_{\alpha }=0\}}$

Dann definiert man ${\displaystyle A_{\alpha }}$ als Quotientenraum ${\displaystyle A_{\alpha }:=A/N_{\alpha }}$.

Zeigen Sie, dass ${\displaystyle N_{\alpha }}$ ein Ideal in ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle A_{\alpha }}$ eine Algebra.

Man verwendet als Halbnorm auf dem Quotientenraum die ${\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\alpha }}$ mit

${\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\|\!|\underbrace {x+N_{\alpha }} _{=[x]_{\alpha }}|\!\|_{\alpha }=\displaystyle \inf _{u\in N_{\alpha }}\|x+u\|_{\alpha }}$

Zeigen Sie, dass ${\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\alpha }}$ eine submultiplikative Norm auf dem Quotientenraum ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ist und ${\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }=\|x\|_{\alpha }}$ gilt.

Für die normierten Algebren ${\displaystyle (A_{\alpha },\|\!|\cdot |\!\|_{\alpha })}$ nutzt man die Charakterisierung der ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-Regularität und erhält Algebraerweiterungen ${\displaystyle (B_{\alpha },\|\!|\cdot |\!\|_{B_{\alpha }})}$ in denen ${\displaystyle z_{\alpha }\in A_{\alpha }}$ das inverse Element ${\displaystyle [b_{\alpha }]_{\alpha }\in B_{\alpha }}$ mit dem Algebraisomorphismus der Einbettung ${\displaystyle \tau _{\alpha }:A_{\alpha }\to A'_{\alpha }\subset B_{\alpha }}$ mit einem Inversen Element ${\displaystyle b_{\alpha }\in B_{\alpha }}$ zu ${\displaystyle [z]_{\alpha }\in A_{\alpha }}$ d.h.

${\displaystyle z_{\alpha }\cdot b_{\alpha }=b_{\alpha }\cdot z_{\alpha }=e_{\alpha }=t_{\alpha }(\underbrace {e_{A}+N_{\alpha }} _{[e_{A}]_{\alpha }})}$

Zeigen Sie, dass ${\displaystyle \|\!|z_{\alpha }|\!\|_{B_{\alpha }}>0}$ und ${\displaystyle \|\!|b_{\alpha }|\!\|_{B_{\alpha }}>0}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ erfüllt sind, wenn ${\displaystyle z\notin {\mathcal {TNT}}(A)}$ ist. Nutzen Sie dazu die Eigenschaft, dass das Halbnormensystem ${\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\alpha }}$ unital positiv ist und mit ${\displaystyle \tau _{\alpha }:A_{\alpha }\to A'_{\alpha }}$ eine Isometrie vorliegt.

Zeigen Sie, dass in einem unital positiven multipliklativen Halbnormensystem ${\displaystyle (\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ ein Element ${\displaystyle z\in A}$ genau dann in ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-regulär ist, wenn es ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-regulär in jeder normierten Algebra ${\displaystyle (A_{\alpha },\|\!|\cdot |\!\|_{\alpha })}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ist mit:

${\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\|\!|\underbrace {x+N_{\alpha }} _{=[x]_{\alpha }}|\!\|_{\alpha }=\displaystyle \inf _{u\in N_{\alpha }}\|x+u\|_{\alpha }}$

Der Algebraisomorphismus ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ setzt sich aus zwei verketteten Abbildungen ${\displaystyle \tau :=\tau _{2}\circ \tau _{1}}$ zusammen mit ${\displaystyle {\widehat {A}}:=\{([x]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\,:\,x\in A\}}$:

• ${\displaystyle \tau _{1}:A\to {\widehat {A}}\subset (A_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ mit ${\displaystyle \tau _{1}(x)=([x]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$
• ${\displaystyle \tau _{2}:{\widehat {A}}\to A'\subset (A'_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\subset B=(B_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ mit ${\displaystyle \tau _{2}(x')=\tau _{2}\left(([x]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\right)=(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$

Zeigen Sie zunächst, dass ${\displaystyle \tau _{1}}$ und ${\displaystyle \tau _{2}}$ Algebraisomorphismen von Algebraerweiterungen sind!

Ersetzt man den Wertebereich ${\displaystyle {\widehat {A}}:=\{([x]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\,:\,x\in A\}}$ durch den Produktraum der Quotientenräume ${\displaystyle (A_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$, so ist die modifizierte Abbildungen ${\displaystyle {\widetilde {\tau _{1}}}}$ keine Algebraisomorphismen mehr. Begründen Sie, warum ist ${\displaystyle {\widetilde {\tau _{1}}}:A\to (A_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ mit geändertem Wertebereich nicht mehr surjektiv ist, wenn ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ mehr als einen Index enthält?

Das neutrale im Produktraum erhält man damit über ${\displaystyle \tau }$ mit:

${\displaystyle \tau (e_{A})=\tau _{2}\left(([e_{A}]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\right)=\tau _{2}\left((e_{A}+N_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\right)=(e_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}=:e_{B}}$.

Die Invertierbarkeit im Produktraum ${\displaystyle B=(B_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ erhält man über

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}e_{B}&=&\tau (e_{A})=(e_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}=(z_{\alpha }\cdot b_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\\&=&(z_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\cdot (b_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}=\tau (z)\cdot b\end{array}}}$.

Man muss bei der Notation in der Algebraerweiterung folgenden Notationen unterscheiden:

• ${\displaystyle (b_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\in (B_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$
• ${\displaystyle ([z]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}=(z+N_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\in (A_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ mit ${\displaystyle z\in A}$

In der zweiten Schreibweise gibt es in jeder Komponente ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ des Produktraumes ${\displaystyle (A_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ den gleichen Repräsentanten ${\displaystyle z\in A}$, während in der ersten Schreibweise für die Notation des Inversen die Repräsentanten ${\displaystyle b_{\alpha }}$ für jedes ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ unterschiedlich sein können.

Nach Konstruktion der Algebraerweiterung der normierten Algebra ${\displaystyle (A_{\alpha },\|\!|\cdot |\!\|_{\alpha })}$ Algebraerweiterungen auf ${\displaystyle (B_{\alpha },\|\!|\cdot |\!\|_{B_{\alpha }})}$ nach der Charakterisierung der ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-Regularität ist die Algebraerweiterung eine Isometrie, d.h. für alle ${\displaystyle x\in A}$ gilt für alle ${\displaystyle \alpha _{0}\in {\mathcal {A}}}$:

${\displaystyle \|\!|\,([x_{\alpha }]_{\alpha })_{\alpha _{0}\in {\mathcal {A}}}\,|\!\|_{\alpha }=\|\!|\tau _{2}\left(\,([x_{\alpha }]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\,\right)|\!\|_{B_{\alpha _{0}}}}$

Für alle ${\displaystyle \alpha _{o}\in {\mathcal {A}}}$ definiert man mit ${\displaystyle \tau (x)=([x]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\in (B_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ und für ${\displaystyle {\widehat {b\,}}:=([{\widehat {b\,}}_{\alpha }]_{\alpha \in {\widetilde {A}}}\in B}$ setzt man

${\displaystyle \|{\widehat {b\,}}\|_{\alpha _{o}}:=\|\,([{\widehat {b\,}}_{\alpha }])_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\|_{\alpha _{o}}:=\|\!|\,[{\widehat {b\,}}_{\alpha _{o}}]_{\alpha _{o}}|\!\|_{\alpha _{o}}}$.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass der Algebraisomorphismus ${\displaystyle \tau }$ eine Isometrie ist, d.h.

${\displaystyle \forall _{\alpha _{o}\in {\mathcal {A}}}\forall _{x\in A}\,\,\|x\|_{\alpha _{o}}=\|\!|\tau (x)|\!\|_{\alpha _{o}}}$

Das inverse Element von ${\displaystyle z}$ ist dann in ${\displaystyle B:=(B_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ mit einem inversen Element ${\displaystyle b\in B}$, das komponentenweise als ${\displaystyle b:=(b_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\in B}$ definiert wird mit ${\displaystyle b_{\alpha }\in B_{\alpha }}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in A}$.

Die Vollständigkeit, die für die B-Regularität noch betrachtet wurde, spielt hier für die ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Regularität keine Rolle, da nur das Vorgehen für Konstruktion einer Algebraerweiterung zu einer normierten Algebra ${\displaystyle ((A_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}},\|\!|\cdot |\!\|_{\mathcal {A}})}$ benötigt wird.

Der Beweis der Charakterisierung ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Regularität wurde von Zelazko bereits 1971 gezeigt^[1] als Charakterisierung der permant singulären Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Algebren.

Der Nachweis der Charakterisierung der ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Regularität ist ein Spezialfall der ${\displaystyle {\mathcal {MPC}}}$-Regularität für multplikative pseudokonvexe Räume, wobei die ${\displaystyle p}$-Normen mit ${\displaystyle p=1}$ homogen sind und damit die Eigenschaften einer Norm erfüllt.

Bei der ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Regularität wurde die Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ über die ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-Regularität, die Definition von isometrischen Algebraisomorphismen und der Betrachtung von Quotientenräume konstruktiert, in der ein ${\displaystyle z\notin {\mathcal {TNT}}(A)}$ invertierbar ist.

Eine direkte Konstruktion der Algebraerweiterung über die topologische Eigenschaften von ${\displaystyle z\in A}$ ist für ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Regularität ebenfalls möglich. Dabei wird wieder die Polynomalgebra ${\displaystyle A[t]}$ topologisiert und dann der Quotientenraum ${\displaystyle A[t]/I}$ betrachtet, wobei dann ${\displaystyle I}$ das Hauptideal ${\displaystyle I:=o\cdot A[t]}$ ist und ${\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}$ ein Repräsentant des Nullvektors ${\displaystyle 0_{B}}$ in der Algebraerweiterung ${\displaystyle B=A[t]/I}$ ist. Der direkte Beweis wird bei der Charakterisierung der ${\displaystyle {\mathcal {MPC}}}$-Regularität geführt und kann mit ${\displaystyle p=1}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Regularität übertragen werden.

1. ↑ ^{a b} Zelazko Wieslaw, On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 (1971), S. 181-190

• Algebraerweiterung
• Konstruktion des Algebraisomorphismus
• Halbnorm
• Gaugefunktional
• Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)
• Ideal (Algebra)
• Normen, Metriken, Topologie
• Minkowski-Funktional
• P-Regularität
• P-Regularität über Quasinormen
• B-Regularität
• LC-Regularität
• MPC-Regularität
• Topologisierungslemma für Algebren
• topologische Nullteiler
• Relativtopologie

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.