Natürliche Zahl/Zehnersystem/Nachfolger/Fakt/Beweis

Wir gehen vom Dezimalsystem im Sinne einer gemischten Darstellung (Stellenwertsystem) aus und müssen zeigen, dass dort das Nachfolgernehmen, also die Addition mit ${\displaystyle {}1}$, die gleiche Wirkungsweise besitzt wie der Zählalgorithmus. Der Nachfolger einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl

${\displaystyle {}n=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\,}$

ist einfach

${\displaystyle {\left(a_{0}+1\right)}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }.}$

Aus diesem Ausdruck lässt sich aber noch nicht unmittelbar die Dezimaldarstellung dieser Zahl ablesen, da der Einerkoeffizient nicht unbedingt ${\displaystyle {}\leq 9}$ sein muss. Wenn ${\displaystyle {}a_{0}\leq 8}$ ist, so ist

${\displaystyle {}a_{0}+1\leq 9\,}$

und die Dezimalentwicklung des Nachfolgers liegt unmittelbar vor. Wenn hingegen ${\displaystyle {}a_{0}=9}$ ist, so geht es um die Zahl

${\displaystyle {}{\begin{aligned}n+1&=(9+1)+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\\&=10+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }\\&=(a_{1}+1)\cdot 10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{\ell }10^{\ell }.\end{aligned}}}$

Erneut gilt, dass bei ${\displaystyle {}a_{1}\leq 8}$ die Dezimalentwicklung vorliegt, bei ${\displaystyle {}a_{1}=9}$ muss man wie zuvor weitermachen. Wenn die hintersten (niedrigststelligen) ${\displaystyle {}s}$ Ziffern ${\displaystyle {}a_{0},\ldots ,a_{s-1}}$ gleich ${\displaystyle {}9}$ sind und

${\displaystyle {}a_{s}\neq 9\,}$

(was den Fall einschließt, dass ${\displaystyle {}n}$ genau ${\displaystyle {}s}$ Ziffern hat, in welchem Fall ${\displaystyle {}a_{s}}$ als ${\displaystyle {}0}$ zu interpretieren ist), so erhält man den Nachfolger, indem man diese ${\displaystyle {}s}$ Neunen durch Nullen ersetzt und ${\displaystyle {}a_{s}}$ um ${\displaystyle {}1}$ erhöht. Es liegt also die Wirkungsweise des Zählalgorithmus vor.