Neilsche Parabel/Assoziierter graduierter Ring/Beispiel

Zum Ring der Neilschen Parabel, also zu ${\displaystyle {}R=K[X,Y]/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}}$ mit dem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(X,Y\right)}}$, kann man den assoziierten graduierten Ring wie folgt berechnen. Es gibt eine surjektive Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K[S,T]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,}$

die ${\displaystyle {}S}$ auf die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}T}$ auf die Restklasse von ${\displaystyle {}Y}$ in ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ abbildet. Dabei ist

${\displaystyle {}\varphi {\left(S^{2}\right)}=[X]^{2}=[X^{2}]=[Y^{3}]=0\,,}$

da ja die dritte Potenz von ${\displaystyle {}Y}$ zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{3}}$ gehört. Da die Monome ${\displaystyle {}X^{i}Y^{j}}$ mit ${\displaystyle {}i=0,1}$ nicht in einer höheren Potenz liegen, hat man die Isomorphie

${\displaystyle {}K[S,T]/{\left(S^{2}\right)}\cong \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\,.}$

Insbesondere ist der assoziierte graduierte Ring nicht reduziert, obwohl ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich ist.