Neilsche Parabel/Monomiale Abbildung/Geradenbedingung/Aufgabe/Lösung

Bei ${\displaystyle {}s=t}$ sind die ersten beiden Punkte gleich und die Behauptung stimmt. Es sei also ${\displaystyle {}s\neq t}$. Die Gleichung für die Gerade durch die beiden Punkte ${\displaystyle {}\left(s,\,s^{3}\right)}$ und ${\displaystyle {}\left(t,\,t^{3}\right)}$ ist

${\displaystyle {}{\left(t^{3}-s^{3}\right)}x-{\left(t-s\right)}y=st^{3}-ts^{3}\,.}$

Hierbei kann man überall ${\displaystyle {}t-s}$ ausklammern und erhält die Gleichung

${\displaystyle {}{\left(t^{2}+ts+s^{2}\right)}x-y=(t+s)st\,.}$

Wir setzen nun den Punkt

${\displaystyle {}(x,y)=\left(-(s+t),\,-(s+t)^{3}\right)\,}$

in die Geradengleichung ein und erhalten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(t^{2}+ts+s^{2}\right)}{\left(-(s+t)\right)}+(s+t)^{3}&=-t^{3}-2t^{2}s-2ts^{2}-s^{3}+s^{3}+3s^{2}t+3st^{2}+t^{3}\\&=s^{2}t+st^{2},\end{aligned}}}$