Neilsche Parabel/Schnitt mit Geraden/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}X=0\,}$

und

${\displaystyle {}Y=\alpha X\,}$

mit ${\displaystyle {}\alpha \in {\mathbb {C} }}$ gegeben. Einsetzen in die Gleichung der Neilschen Parabel ergibt im ersten Fall

${\displaystyle {}Y^{2}=0\,,}$

also den einzigen Schnittpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$, und im zweiten Fall

${\displaystyle {}\alpha ^{2}X^{2}=X^{3}\,,}$

also

${\displaystyle {}X^{2}{\left(X-\alpha ^{2}\right)}=0\,}$

mit den Schnittpunkten ${\displaystyle {}(0,0)}$ und ${\displaystyle {}(\alpha ^{2},\alpha ^{3})}$.

${\displaystyle {}X}$

${\displaystyle {}Y=c\,}$

mit einem ${\displaystyle {}c\in {\mathbb {C} }}$ gegeben. Dies führt auf

${\displaystyle {}c^{2}=X^{3}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}c=0}$ ergibt dies den einzigen Schnittpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ und bei ${\displaystyle {}c\neq 0}$ ergibt dies die Schnittpunkte ${\displaystyle {}(\zeta {\sqrt[{3}]{c^{2}}},c)}$, wobei ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{c^{2}}}}$ eine beliebige dritte Wurzel aus ${\displaystyle {}c^{2}}$ bezeichnet und ${\displaystyle {}\zeta }$ die dritten Einheitswurzeln durchläuft.

Die Geraden, die parallel zur ${\displaystyle {}Y}$-Achse sind, sind durch

${\displaystyle {}X=d\,}$

mit einem ${\displaystyle {}d\in {\mathbb {C} }}$ gegeben. Dies führt auf

${\displaystyle {}Y^{2}=d^{3}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}d=0}$ ergibt dies den einzigen Schnittpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ und bei ${\displaystyle {}d\neq 0}$ ergibt dies die Schnittpunkte ${\displaystyle {}(d,\pm {\sqrt {d^{3}}})}$, wobei ${\displaystyle {}{\sqrt {d^{3}}}}$ eine beliebige Quadratwurzel aus ${\displaystyle {}d^{3}}$ bezeichnet.